Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή

  Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις

 

Η εξίσωση ημx = α

Έστω ότι θέλουμε να λύσουμε την εξίσωση ημx = 1/2. Είναι φανερό ότι ζητάμε να βρούμε τις τετμημένες των σημείων τομής της καμπύλης y = ημx και της ευθείας y = 1/2

 

Ζητάμε δηλαδή εκείνα τα x ∈ ℝ, για τα οποία η συνάρτηση f(x) = ημx παίρνει την τιμή 1/2. Επειδή η συνάρτηση αυτή είναι περιοδική με περίοδο 2π, για να βρούμε τα ζητούμενα x, που είναι άπειρα σε πλήθος (βλ. σχήμα), αρκεί να βρούμε όσα από αυτά υπάρχουν σε ένα διάστημα πλάτους 2π και σε κάθε ένα να προσθέσουμε το κ·2π, όπου κ ακέραιος.

Με τη βοήθεια του τριγωνομετρικού κύκλου βρίσκουμε ότι οι λύσεις της εξίσωσης ημx = 1/2 στο διάστημα [0, 2π], είναι οι π/6 και π - π/6 = 5π/6, γιατί ημ π/6 = ημ 5π/6 = 1/2.

Επομένως το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης ημx = 1/2 δίνεται από τους τύπους  x=2kπ+π/6 ή x=2kπ+5π/6 Γενικότερα, αν θ είναι μία λύση της εξίσωσης ημx = α, αν δηλαδή ισχύει ημθ = α, τότε οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται από τους τύπους: x=2kπ+θ ή x=2kπ+π-θ , κ ακέραιος