Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή

  Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέγεται περιοδική, όταν υπάρχει πραγματικός αριθμός Τ > 0 τέτοιος, ώστε για κάθε x ∈ A να ισχύει:

i)   x + T ∈ A, x - T ∈ A

και

ii) f(x + T) = f(x - T) = f(x)

Ο πραγματικός αριθμός Τ λέγεται περίοδος της συνάρτησης f.

 

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις πραγματικών αριθμών

Όπως γνωρίζουμε, για κάθε γωνία ω υπάρχει μία μόνο τιμή του ημω, με -1 ≤ ημω ≤ 1. Έτσι ορίζεται μια συνάρτηση με την οποία κάθε γωνία ω αντιστοιχίζεται στο ημίτονό της. Ομοίως ορίζονται και οι άλλες τριγωνομετρικές συναρτήσεις γωνιών.

Πολλές εφαρμογές όμως των τριγωνομετρικών συναρτήσεων δεν περιέχουν γωνίες, αλλά πραγματικούς αριθμούς, όπως, π.χ., ο τύπος της αρμονικής ταλάντωσης f(t) = α·ημωt, στον οποίο τα α και ω είναι σταθερές και t είναι ένας πραγματικός αριθμός που παριστάνει το χρόνο.

Για το λόγο αυτό ορίζουμε στη συνέχεια τριγωνομετρικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής.

Συγκεκριμένα:

- Η συνάρτηση με την οποία κάθε πραγματικός αριθμός x αντιστοιχίζεται στο ημ (x rad) λέγεται συνάρτηση ημίτονο και συμβολίζεται με ημ.

Ορίζουμε δηλαδή ότι

ημx = ημ (x rad).

Επειδή ημ(ω + 360^o) = ημ(ω - 360^o) = ημω, για κάθε x ∈ ℝ θα ισχύει:

ημ(x + 2π) = ημ(x - 2π) = ημx.

Άρα η συνάρτηση ημίτονο είναι περιοδική με περίοδο 2π.

- Ομοίως ορίζουμε και τη συνάρτηση συνημίτονο που συμβολίζεται με συν.

Ορίζουμε δηλαδή ότι

συνx = συν (x rad).

Και η συνάρτηση συνημίτονο είναι περιοδική με περίοδο 2π.

 Η συνάρτηση εφαπτομένη που συμβολίζεται με εφ, ορίζεται ως εξής:

εφx = ημxσυνx

Είναι φανερό ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης εφ είναι το σύνολο:

ℝ₁ = {x|συνx ≠ 0}

Επειδή για κάθε x ∈ R₁ ισχύει

εφ(x + π) = εφ(x - π) = εφx,

η συνάρτηση εφαπτομένη είναι περιοδική με περίοδο π.

- Η συνάρτηση συνεφαπτομένη, που συμβολίζεται με σφ, ορίζεται ως εξής:

σφx = συνxημx,

Είναι φανερό ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης σφ είναι το σύνολο:

ℝ₂ = {x|ημx ≠ 0}

Και η συνάρτηση συνεφαπτομένη είναι περιοδική με περίοδο π.

Μελέτη της συνάρτησης f(x) = ημx

 Επειδή η συνάρτηση f(x) = ημx είναι περιοδική με περίοδο 2π, αρκεί να τη μελετήσουμε σε ένα διάστημα πλάτους 2π, π.χ. το [0, 2π], Έχουμε αναφέρει όμως ότι το ημx είναι η τεταγμένη του σημείου Μ στο οποίο η τελική πλευρά της γωνίας xrad τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο. Επομένως αρκεί να εξετάσουμε πώς μεταβάλλεται η τεταγμένη του Μ, όταν αυτό περιφέρεται στον τριγωνομετρικό κύκλο κατά τη θετική φορά, ξεκινώντας από το Α.

 Όταν το x μεταβάλλεται από το 0 μέχρι το π2, το Μ κινείται από το Α μέχρι το Β. Άρα η τεταγμένη του αυξάνει, που σημαίνει ότι η συνάρτηση f(x) = ημx είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [0, π2].

Ομοίως βρίσκουμε ότι η συνάρτηση f(x) = ημx είναι:

 γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [π/2, π],

- γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [π, 3π/2] και

- γνησίως αύξουσα στο διάστημα [3π/2, 2π].

● Η συνάρτηση παρουσιάζει

- μέγιστο για x = π/2, το ημ π/2 = 1 και

- ελάχιστο για x = 3π/2, το ημ 3π/2 = -1.