Τρίτη 2 Ιουλίου 2024
ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ: Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή
Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ
ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ
Οι
ιστορικές ρίζες της μελέτης των πολυωνύμων βαθμού κυρίως 1 και 2
βρίσκονται στην κοιλάδα του Τίγρη και του Ευφράτη, τη Μεσοποταμία όπως
λεγόταν, που βρίσκεται στο σημερινό Ιράκ. Οι αρχαίοι Βαβυλώνιοι που
ζούσαν στην περιοχή αυτή και δημιούργησαν έναν από τους αρχαιότερους
πολιτισμούς γύρω στο 2000 π.Χ. ήξεραν να βρίσκουν τις ρίζες πολυωνύμων 1ου και 2ου
βαθμού και ήξεραν να υπολογίζουν προσεγγιστικά τετραγωνικές ρίζες
αριθμών. Ο συμβολισμός τους ήταν πρωτόγονος και οι διατυπώσεις των
προβλημάτων και των λύσεών τους γινόταν κυρίως με λόγια. Αξίζει να
σημειωθεί ότι για τα Μαθηματικά επιτεύγματα των Βαβυλωνίων, που ήταν
πολύ αξιόλογα για τα μέτρα εκείνης της εποχής, υπήρχε σχεδόν απόλυτη
άγνοια μέχρι πολύ τελευταία και μόλις γύρω στο 1930 μελέτες του Otto
Neugebauer μας διαφώτισαν γύρω από τα μαθηματικά εκείνης της περιόδου.
μπορούμε να απαντήσουμε οσοδήποτε ακριβείς υπολογισμούς και να κάνουμε. Η ανακάλυψη των Πυθαγορείων, ότι δεν υπάρχει τέτοιο κλάσμα, είναι μια από τις πρώτες μαθηματικές αποδείξεις όπου η αυστηρή λογική μας δείχνει ότι η απλή εμπειρία και διαίσθηση είναι δυνατόν να μας εξαπατήσουν. Σε βιβλία του Ευκλείδη δίνεται η γεωμετρική λύση εξισώσεων 1ου και 2ου βαθμού, δηλαδή η κατασκευή των ριζών με κανόνα και διαβήτη. Η άλλη μεγάλη Ελληνική συνεισφορά προς την κατεύθυνση αυτή ήταν η βελτίωση του αλγεβρικού συμβολισμού που εκτίθεται στα Αριθμητικά του Διόφαντου (περί το 250 π.Χ.). Τα Αριθμητικά του Διόφαντου είναι για την Άλγεβρα ότι είναι τα Στοιχεία του Ευκλείδη για τη Γεωμετρία και η επίδρασή τους στους επόμενους αιώνες ήταν πολύ μεγάλη.
Από τους αρχαίους Έλληνες τη σκυτάλη παρέλαβαν οι Άραβες, οι οποίοι βελτίωσαν αποφασιστικά τον Αλγεβρικό λογισμό, δεν έλυσαν όμως εξισώσεις 3ου βαθμού παρ' όλο ότι εργάσθηκαν προς την κατεύθυνση αυτή με βασικό κίνητρο τη μελέτη τριγωνομετρικών ζητημάτων. Αξίζει να σημειωθεί ότι η λέξη Άλγεβρα προέρχεται από παραφθορά του τίτλου ενός βιβλίου του αστρονόμου Mohammed ibn Musa al-khowarizmi (περί το 825), που ήταν Al-jabr w'almuqabala.Η μεγαλύτερη συμβολή στην τελική επίλυση του προβλήματος των αλγεβρικών εξισώσεων δόθηκε τελικά στις αρχές του 19ου αιώνα από τους νεαρούς μαθηματικούς Abel και Galois. Ο Νορβηγός Niels Η. Abel (1802- 1829) απέδειξε το 1824, σε ηλικία 22 ετών, ότι δεν υπάρχουν τύποι, όπως στην περίπτωση 2ου, 3ου και 4ου βαθμού, που να δίνουν τις ρίζες μιας γενικής εξίσωσης 5ου βαθμού. Οπωσδήποτε χρησιμοποίησε τα αποτελέσματα των προηγουμένων του και κυρίως του Lagrange. Το γενικό πρόβλημα που παρέμενε ήταν να βρεθούν οι συνθήκες, ώστε μια εξίσωση να μπορεί να επιλυθεί. Ο Abel πέθανε το 1829 σε ηλικία 27 ετών από τις κακουχίες και τη φυματίωση, χωρίς να ολοκληρώσει τη λύση του προβλήματος. Κατά τους βιογράφους του ταξίδευε στην Ευρώπη πεζός, για να συναντήσει τους μεγάλους μαθηματικούς της εποχής.
Το γενικό πρόβλημα έλυσε λίγο αργότερα ο νεαρός Γάλλος μαθηματικός Evariste Galois (1811-1832), που έδωσε τις συνθήκες, ώστε μια εξίσωση να έχει ρίζες που να εκφράζονται με τους συντελεστές.
Η ζωή του Galois απασχόλησε πολλούς ιστορικούς και οι βιογραφίες του είναι μεταξύ μύθου και πραγματικότητας. Ο Galois έζησε σε μια εποχή που η Γαλλία ταραζόταν από πολιτικές αναταραχές. Αφού απέτυχε στις εισαγωγικές εξετάσεις για την École Polytechnique το 1829 λόγω ελλιπούς προπαρασκευής, γράφτηκε στην École Preparatoire. Εκεί η ζωή του σημαδεύτηκε από αποβολές, ασθένειες και φυλακίσεις για πολιτικούς λόγους. Τελικά έλαβε μέρος σε μια μονομαχία, όπου τραυματίσθηκε θανάσιμα και πέθανε στις 31 Μαΐου του 1832, πριν συμπληρώσει τα 21 χρόνια του. Τις ανακαλύψεις του ο Galois τις έγραψε την τελευταία νύχτα της ζωής του πριν από τη μονομαχία σε ένα δυσανάγνωστο χειρόγραφο 31 σελίδων, το οποίο έμεινε στην αφάνεια, μέχρι που ο Γάλλος ακαδημαϊκός Joseph Liouville το παρουσίασε στη Γαλλική Ακαδημία στις 4 Ιουλίου 1843.
ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ: Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή
Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή
Διαίρεση πολυωνύμων
Αλγοριθμική διαίρεση
Γνωρίζουμε από το Γυμνάσιο την έννοια της Ευκλείδειας ή αλγοριθμικής διαίρεσης μεταξύ θετικών ακεραίων αριθμών. Συγκεκριμένα γνωρίζουμε ότι:
Για κάθε ζεύγος φυσικών αριθμών Δ και δ με δ ≠ 0, υπάρχουν δύο μοναδικοί φυσικοί αριθμοί π και υ, τέτοιοι ώστε
(1)
Δ = δπ + υ, 0 ≤ υ < δ
Η ισότητα αυτή είναι γνωστή ως ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης. Ο Δ λέγεται διαιρετέος, ο δ διαιρέτης, ο π πηλίκο και ο υ υπόλοιπο της διαίρεσης.
Η έννοια της διαίρεσης των πολυωνύμων είναι ανάλογη με την Ευκλείδεια διαίρεση που αναφέραμε παραπάνω. Συγκεκριμένα ισχύει:
| ΘΕΩΡΗΜΑ | |
(Ταυτότητα της διαίρεσης) Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ(x) και δ(x) με δ(x) ≠ 0 υπάρχουν δυο μοναδικά πολυώνυμα π(x) και υ(x), τέτοια ώστε: | |
| (2) Δ(x) = δ(x)π(x) + υ(x), | |
| όπου το υ(x) ή είναι το μηδενικό πολυώνυμο ή έχει βαθμό μικρότερο από το βαθμό του δ(x). | |
Όπως και στη διαίρεση μεταξύ φυσικών αριθμών το Δ(x) λέγεται διαιρετέος, το δ(x) διαιρέτης, το π(x) πηλίκο και το υ(x) υπόλοιπο της διαίρεσης.
Γενικά, αν σε μια διαίρεση είναι υ(x) = 0, τότε η διαίρεση λέγεται τέλεια και η ταυτότητα της διαίρεσης γράφεται
Δ(x) = δ(x)·π(x)
Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι το δ(x) διαιρεί το Δ(x) ή ότι το δ(x) είναι παράγοντας του Δ(x) ή ότι το Δ(x) διαιρείται με το δ(x) ή ακόμη ότι το δ(x) είναι διαιρέτης του Δ(x). Έτσι για παράδειγμα το 2x2 - 1 είναι παράγοντας ή διαιρέτης του 2x3 + 2x2 - x - 1.
Διαίρεση πολυωνύμου με x - ρ.
Η ταυτότητα της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το πολυώνυμο x - ρ γράφεται.
P(x) = (x - ρ)π(x) + υ(x)
Επειδή ο διαιρέτης x - ρ είναι πρώτου βαθμού, το υπόλοιπο της διαίρεσης θα είναι ένα σταθερό πολυώνυμο υ. Έτσι έχουμε:
P(x) = (x - ρ)π(x) + υ
και, αν θέσουμε x = ρ, παίρνουμε
P(ρ) = (ρ - ρ)π(ρ) + υ = 0 + υ = υ
Επομένως
P(x) = (x - ρ)π(x) + P(ρ)
| P(x) = (x - ρ)π(x) + P(ρ) |
Αποδείξαμε λοιπόν ότι:
| ΘΕΩΡΗΜΑ | |||||
| Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το x - ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ. Είναι δηλαδή | |||||
| υ = P(ρ)
ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω ότι το x - ρ είναι παράγοντας του Ρ(x). Τότε P(x) = (x - ρ)π(x) Από την ισότητα αυτή για x = ρ παίρνουμε P(ρ) = (ρ - ρ)π(ρ) = 0, που σημαίνει ότι το ρ είναι ρίζα του Ρ(x). Αντιστρόφως: Έστω ότι το ρ είναι ρίζα του Ρ(x), δηλαδή ισχύει Ρ(ρ) = 0. Τότε από τη σχέση P(x) = (x - ρ)π(x) + P(ρ) παίρνουμε P(x) = (x - ρ)π(x), που σημαίνει ότι το x - ρ είναι παράγοντας του Ρ(x).
ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω ότι το x - ρ είναι παράγοντας του Ρ(x). Τότε P(x) = (x - ρ)π(x) Από την ισότητα αυτή για x = ρ παίρνουμε P(ρ) = (ρ - ρ)π(ρ) = 0, που σημαίνει ότι το ρ είναι ρίζα του Ρ(x). Αντιστρόφως: Έστω ότι το ρ είναι ρίζα του Ρ(x), δηλαδή ισχύει Ρ(ρ) = 0. Τότε από τη σχέση P(x) = (x - ρ)π(x) + P(ρ) παίρνουμε P(x) = (x - ρ)π(x), που σημαίνει ότι το x - ρ είναι παράγοντας του Ρ(x).
| |||||