ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΦΟΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ / ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ

 

ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Ρίχνουμε ένα νόμισμα τρεις διαδοχικές φορές.

i) Να γραφτεί ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος.

ii) Να παρασταθούν με αναγραφή τα ενδεχόμενα που προσδιορίζονται από την

αντίστοιχη ιδιότητα:

Α1: "Ο αριθμός των Κ υπερβαίνει τον αριθμό των Γ"

Α2: "Ο αριθμός των Κ είναι ακριβώς 2"

Α3: "Ο αριθμός των Κ είναι τουλάχιστον 2"

Α4: "Ίδια όψη και στις τρεις ρίψεις"

Α5: "Στην πρώτη ρίψη φέρνουμε K"

iii) Να βρεθούν τα ενδεχόμενα Α όπως περιγράφονται παρακάτω

i) Για να προσδιορίσουμε το δειγματικό χώρο, θα χρησιμοποιήσουμε ένα δεντροδιά-

γραμμα:1η ρίψη 2η ρίψη 3η ρίψη Αποτέλεσμα

Άρα, ο δειγματικός χώρος του πειράματος αποτελείται από διατεταγμένες τριάδες

με στοιχεία το Κ και το Γ και είναι

Ω = {ΚΚΚ, ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΚΓΓ, ΓΚΚ, ΓΚΓ, ΓΓΚ, ΓΓΓ}.

ii) Έχοντας υπόψη το δειγματικό χώρο Ω και την αντίστοιχη ιδιότητα έχουμε:

Α1 = {ΚΚΚ, ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΓΚΚ}

Α2 = {ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΓΚΚ}

Α3 = {ΚΚΚ, ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΓΚΚ} (Παρατηρούμε ότι Α3 = Α1 )

Α 4 = {ΚΚΚ, ΓΓΓ}

Α5 = {ΚΚΚ, ΚΓΓ, ΚΓΚ, ΚΓΓ}.

iii) Το Α περιέχει εκείνα τα στοιχεία του δειγματικού χώρου που δεν περιέχει το Α 3 ,

περιέχει δηλαδή τα στοιχεία στα οποία ο αριθμός των Κ είναι μικρότερος από 2.

Επομένως, Α = {ΚΓΓ, ΓΚΓ, ΓΓΚ, ΓΓΓ}.

Το ενδεχόμενο A  περιέχει τα κοινά στοιχεία των Α 5 και Α2, δηλαδή τα

στοιχεία με δύο ακριβώς Κ, εκ των οποίων το ένα στην πρώτη θέση. Επομένως,

A  = {ΚΚΓ, ΚΓΚ}.

Το ενδεχόμενο A περιέχει τα στοιχεία που στην πρώτη θέση έχουν Κ ή

τα στοιχεία που έχουν ίδιες και τις τρεις ενδείξεις. Επομένως, A = {ΚΚΓ,

ΚΓΚ, ΚΚΓ, ΚΚΚ, ΓΓΓ}.

2. Δίνονται δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός πειράματος με δειγματικό χώρο Ω. Να πα-

ρασταθούν με διαγράμματα Venn και να εκφραστούν με τη βοήθεια συνόλων τα

ενδεχόμενα που ορίζονται με τις εκφράσεις:

i) Πραγματοποιείται μόνο ένα από τα Α και Β.

ii) Δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β.λυση

i) Επειδή θέλουμε να πραγματοποιείται μόνο το Α ή

μόνο το Β, γραμμοσκιάζουμε τις επιφάνειες των Α και

Β με εξαίρεση την τομή τους, δηλαδή την κοινή επι-

φάνειά τους.

Παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή πραγματο-

ποιείται ένα μόνο από τα Α − Β και Β − Α. Άρα, το

ζητούμενο ενδεχόμενο είναι το Α

ii) Επειδή θέλουμε να μην πραγματοποιείται κανένα από

τα Α και Β, γραμμοσκιάζουμε την επιφάνεια του Ω που

είναι εκτός της ένωσης των Α και Β. Στην περίπτωση

αυτή παρατηρούμε ότι το ζητούμενο σύνολο είναι συ-

μπληρωματικό του Α Β∪ , δηλαδή το Α