Μελέτη της συνάρτησης f(x) = συνx
Επειδή η συνάρτηση f(x) = συνx είναι περιοδική με περίοδο 2π, αρκεί να τη μελετήσουμε σε ένα διάστημα πλάτους 2π, π.χ. το [0, 2π]
Μελέτη της συνάρτησης f(x) = εφx
Επειδή η συνάρτηση f(x) = εφx είναι περιοδική με περίοδο π, αρκεί να τη μελετήσουμε σε ένα διάστημα πλάτους π, π.χ. το (- π/2, π/2).
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
1º Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f(x) = 3ημx.
Οι τιμές της συνάρτησης f(x) = 3ημx είναι προφανώς τριπλάσιες από τις αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης f(x) = ημx. Εξάλλου και η συνάρτηση αυτή είναι περιοδική με περίοδο 2π, αφού ισχύει:
f(x + 2π) = 3·ημ(x + 2π) = 3·ημx = f(x), για κάθε x ∈ ℝ,
και f(x - 2π) = 3·ημ(x - 2π) = 3·ημx = f(x), για κάθε x ∈ ℝ
Έχοντας υπ' όψιν τα στοιχεία αυτά και με τη βοήθεια ενός πίνακα τιμών σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της f(x) = 3ημx.
2º Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f(x) = ημ2x.
ΛΥΣΗ
Κάθε τιμή της συνάρτησης f(x) = ημ2x επαναλαμβάνεται, όταν το 2x αυξηθεί κατά 2π, που σημαίνει ότι η τιμή αυτή επαναλαμβάνεται, όταν το x αυξηθεί κατά π. Επομένως, η συνάρτηση f(x) = ημ2x είναι περιοδική με περίοδο π. Πράγματι:
f(x + π) = ημ2(x + π) = ημ(2x + 2π) = ημ2x = f(x), για κάθε x ∈ ℝ
και f(x - π) = ημ2(x - π) = ημ(2x - 2π) = ημ2x = f(x), για κάθε x ∈ ℝ
Έχοντας υπόψη το στοιχείο αυτό και με τη βοήθεια ενός πίνακα τιμών, σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της f(x) = ημ2x
3º Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f(x) = 3ημ2x.
ΛΥΣΗ
Σύμφωνα με τα προηγούμενα παραδείγματα η συνάρτηση αυτή έχει μέγιστο 3, ελάχιστο -3 και είναι περιοδική με περίοδο π.
Ένας πίνακας τιμών της συνάρτησης f(x) = 3ημ2x είναι ο εξής:
Από τα προηγούμενα παραδείγματα γίνεται φανερό ότι, σε μια συνάρτηση της μορφής f(x) = ρημωx, όπου ρ, ω > 0:
(i)
Το ρ καθορίζει τη μέγιστη τιμή της, που είναι ίση με ρ και την ελάχιστη τιμή της που είναι ίση με -ρ.
(ii)
Το ω καθορίζει την περίοδο της συνάρτησης που είναι ίση με 2πω.
Τα ίδια συμπεράσματα ισχύουν και για μια συνάρτηση της μορφής
f(x) = ρσυνωx, όπου ρ, ω > 0
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου