Τετάρτη 3 Ιουλίου 2024
Math Blog Posts: Math Blog Posts: Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβ...
Math Blog Posts: Math Blog Posts: Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβ...: Math Blog Posts: Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή : Λογαριθμική συνάρτηση Αν α > 1, τότε η λογαριθμική συνάρτηση g(x) = l...
Math Blog Posts: Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή
Math Blog Posts: Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή: Λογαριθμική συνάρτηση Αν α > 1, τότε η λογαριθμική συνάρτηση g(x) = log α x: ● Έχει πεδίο ορισμ...
Math Blog Posts: Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή
Math Blog Posts: Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή: αν α > 0 με α ≠ 1 και θ > 0, τότε: α x = θ ⇔ x = log α θ Ο log α θ...
Math Blog Posts: Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή
Math Blog Posts: Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή: αν α > 0 με α ≠ 1 και θ > 0, τότε: α x = θ ⇔ x = log α θ Ο log α θ...
Math Blog Posts: Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή
Math Blog Posts: Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή: Εκθετική συνάρτηση ● Έχει πεδίο ορισμού το ℝ. ● Έχει σύνολο τιμών το διάστημα (0, +∞)...
Math Blog Posts: Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή
Math Blog Posts: Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή: αν α > 0 με α ≠ 1 και θ > 0, τότε: α x = θ ⇔ x = log α θ Ο log α θ...
Math Blog Posts: Σχολικά βιβλία Υπουργείο Παιδείας
Math Blog Posts: Σχολικά βιβλία Υπουργείο Παιδείας: https://pubhtml5.com/bookcase/lcnx
Math Blog Posts: Math Blog Posts: Σχολικά βιβλία Υπουργείο Παιδείας
Math Blog Posts: Math Blog Posts: Σχολικά βιβλία Υπουργείο Παιδείας: Math Blog Posts: Σχολικά βιβλία Υπουργείο Παιδείας : https://pubhtml5.com/bookcase/lcnx
Τρίτη 2 Ιουλίου 2024
ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ: Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή
ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ: Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Οι ιστορικές ρίζες της μελέτης των πολυωνύμων βαθμού κυρίως 1 κα...
Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ
ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ
Οι
ιστορικές ρίζες της μελέτης των πολυωνύμων βαθμού κυρίως 1 και 2
βρίσκονται στην κοιλάδα του Τίγρη και του Ευφράτη, τη Μεσοποταμία όπως
λεγόταν, που βρίσκεται στο σημερινό Ιράκ. Οι αρχαίοι Βαβυλώνιοι που
ζούσαν στην περιοχή αυτή και δημιούργησαν έναν από τους αρχαιότερους
πολιτισμούς γύρω στο 2000 π.Χ. ήξεραν να βρίσκουν τις ρίζες πολυωνύμων 1ου και 2ου
βαθμού και ήξεραν να υπολογίζουν προσεγγιστικά τετραγωνικές ρίζες
αριθμών. Ο συμβολισμός τους ήταν πρωτόγονος και οι διατυπώσεις των
προβλημάτων και των λύσεών τους γινόταν κυρίως με λόγια. Αξίζει να
σημειωθεί ότι για τα Μαθηματικά επιτεύγματα των Βαβυλωνίων, που ήταν
πολύ αξιόλογα για τα μέτρα εκείνης της εποχής, υπήρχε σχεδόν απόλυτη
άγνοια μέχρι πολύ τελευταία και μόλις γύρω στο 1930 μελέτες του Otto
Neugebauer μας διαφώτισαν γύρω από τα μαθηματικά εκείνης της περιόδου.
μπορούμε να απαντήσουμε οσοδήποτε ακριβείς υπολογισμούς και να κάνουμε. Η ανακάλυψη των Πυθαγορείων, ότι δεν υπάρχει τέτοιο κλάσμα, είναι μια από τις πρώτες μαθηματικές αποδείξεις όπου η αυστηρή λογική μας δείχνει ότι η απλή εμπειρία και διαίσθηση είναι δυνατόν να μας εξαπατήσουν. Σε βιβλία του Ευκλείδη δίνεται η γεωμετρική λύση εξισώσεων 1ου και 2ου βαθμού, δηλαδή η κατασκευή των ριζών με κανόνα και διαβήτη. Η άλλη μεγάλη Ελληνική συνεισφορά προς την κατεύθυνση αυτή ήταν η βελτίωση του αλγεβρικού συμβολισμού που εκτίθεται στα Αριθμητικά του Διόφαντου (περί το 250 π.Χ.). Τα Αριθμητικά του Διόφαντου είναι για την Άλγεβρα ότι είναι τα Στοιχεία του Ευκλείδη για τη Γεωμετρία και η επίδρασή τους στους επόμενους αιώνες ήταν πολύ μεγάλη.
Από τους αρχαίους Έλληνες τη σκυτάλη παρέλαβαν οι Άραβες, οι οποίοι βελτίωσαν αποφασιστικά τον Αλγεβρικό λογισμό, δεν έλυσαν όμως εξισώσεις 3ου βαθμού παρ' όλο ότι εργάσθηκαν προς την κατεύθυνση αυτή με βασικό κίνητρο τη μελέτη τριγωνομετρικών ζητημάτων. Αξίζει να σημειωθεί ότι η λέξη Άλγεβρα προέρχεται από παραφθορά του τίτλου ενός βιβλίου του αστρονόμου Mohammed ibn Musa al-khowarizmi (περί το 825), που ήταν Al-jabr w'almuqabala.Η μεγαλύτερη συμβολή στην τελική επίλυση του προβλήματος των αλγεβρικών εξισώσεων δόθηκε τελικά στις αρχές του 19ου αιώνα από τους νεαρούς μαθηματικούς Abel και Galois. Ο Νορβηγός Niels Η. Abel (1802- 1829) απέδειξε το 1824, σε ηλικία 22 ετών, ότι δεν υπάρχουν τύποι, όπως στην περίπτωση 2ου, 3ου και 4ου βαθμού, που να δίνουν τις ρίζες μιας γενικής εξίσωσης 5ου βαθμού. Οπωσδήποτε χρησιμοποίησε τα αποτελέσματα των προηγουμένων του και κυρίως του Lagrange. Το γενικό πρόβλημα που παρέμενε ήταν να βρεθούν οι συνθήκες, ώστε μια εξίσωση να μπορεί να επιλυθεί. Ο Abel πέθανε το 1829 σε ηλικία 27 ετών από τις κακουχίες και τη φυματίωση, χωρίς να ολοκληρώσει τη λύση του προβλήματος. Κατά τους βιογράφους του ταξίδευε στην Ευρώπη πεζός, για να συναντήσει τους μεγάλους μαθηματικούς της εποχής.
Το γενικό πρόβλημα έλυσε λίγο αργότερα ο νεαρός Γάλλος μαθηματικός Evariste Galois (1811-1832), που έδωσε τις συνθήκες, ώστε μια εξίσωση να έχει ρίζες που να εκφράζονται με τους συντελεστές.
Η ζωή του Galois απασχόλησε πολλούς ιστορικούς και οι βιογραφίες του είναι μεταξύ μύθου και πραγματικότητας. Ο Galois έζησε σε μια εποχή που η Γαλλία ταραζόταν από πολιτικές αναταραχές. Αφού απέτυχε στις εισαγωγικές εξετάσεις για την École Polytechnique το 1829 λόγω ελλιπούς προπαρασκευής, γράφτηκε στην École Preparatoire. Εκεί η ζωή του σημαδεύτηκε από αποβολές, ασθένειες και φυλακίσεις για πολιτικούς λόγους. Τελικά έλαβε μέρος σε μια μονομαχία, όπου τραυματίσθηκε θανάσιμα και πέθανε στις 31 Μαΐου του 1832, πριν συμπληρώσει τα 21 χρόνια του. Τις ανακαλύψεις του ο Galois τις έγραψε την τελευταία νύχτα της ζωής του πριν από τη μονομαχία σε ένα δυσανάγνωστο χειρόγραφο 31 σελίδων, το οποίο έμεινε στην αφάνεια, μέχρι που ο Γάλλος ακαδημαϊκός Joseph Liouville το παρουσίασε στη Γαλλική Ακαδημία στις 4 Ιουλίου 1843.
ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ: Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή
ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ: Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή: Διαίρεση πολυωνύμων Αλγοριθμική διαίρεση Γνωρίζουμε από το Γυμνάσιο την έννοια της Ευκλείδειας ή αλγοριθμικής διαίρεσης μεταξ...
Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή
Διαίρεση πολυωνύμων
Αλγοριθμική διαίρεση
Γνωρίζουμε από το Γυμνάσιο την έννοια της Ευκλείδειας ή αλγοριθμικής διαίρεσης μεταξύ θετικών ακεραίων αριθμών. Συγκεκριμένα γνωρίζουμε ότι:
Για κάθε ζεύγος φυσικών αριθμών Δ και δ με δ ≠ 0, υπάρχουν δύο μοναδικοί φυσικοί αριθμοί π και υ, τέτοιοι ώστε
(1)
Δ = δπ + υ, 0 ≤ υ < δ
Η ισότητα αυτή είναι γνωστή ως ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης. Ο Δ λέγεται διαιρετέος, ο δ διαιρέτης, ο π πηλίκο και ο υ υπόλοιπο της διαίρεσης.
Η έννοια της διαίρεσης των πολυωνύμων είναι ανάλογη με την Ευκλείδεια διαίρεση που αναφέραμε παραπάνω. Συγκεκριμένα ισχύει:
| ΘΕΩΡΗΜΑ | |
(Ταυτότητα της διαίρεσης) Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ(x) και δ(x) με δ(x) ≠ 0 υπάρχουν δυο μοναδικά πολυώνυμα π(x) και υ(x), τέτοια ώστε: | |
| (2) Δ(x) = δ(x)π(x) + υ(x), | |
| όπου το υ(x) ή είναι το μηδενικό πολυώνυμο ή έχει βαθμό μικρότερο από το βαθμό του δ(x). | |
Όπως και στη διαίρεση μεταξύ φυσικών αριθμών το Δ(x) λέγεται διαιρετέος, το δ(x) διαιρέτης, το π(x) πηλίκο και το υ(x) υπόλοιπο της διαίρεσης.
Γενικά, αν σε μια διαίρεση είναι υ(x) = 0, τότε η διαίρεση λέγεται τέλεια και η ταυτότητα της διαίρεσης γράφεται
Δ(x) = δ(x)·π(x)
Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι το δ(x) διαιρεί το Δ(x) ή ότι το δ(x) είναι παράγοντας του Δ(x) ή ότι το Δ(x) διαιρείται με το δ(x) ή ακόμη ότι το δ(x) είναι διαιρέτης του Δ(x). Έτσι για παράδειγμα το 2x2 - 1 είναι παράγοντας ή διαιρέτης του 2x3 + 2x2 - x - 1.
Διαίρεση πολυωνύμου με x - ρ.
Η ταυτότητα της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το πολυώνυμο x - ρ γράφεται.
P(x) = (x - ρ)π(x) + υ(x)
Επειδή ο διαιρέτης x - ρ είναι πρώτου βαθμού, το υπόλοιπο της διαίρεσης θα είναι ένα σταθερό πολυώνυμο υ. Έτσι έχουμε:
P(x) = (x - ρ)π(x) + υ
και, αν θέσουμε x = ρ, παίρνουμε
P(ρ) = (ρ - ρ)π(ρ) + υ = 0 + υ = υ
Επομένως
P(x) = (x - ρ)π(x) + P(ρ)
| P(x) = (x - ρ)π(x) + P(ρ) |
Αποδείξαμε λοιπόν ότι:
| ΘΕΩΡΗΜΑ | |||||
| Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το x - ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ. Είναι δηλαδή | |||||
| υ = P(ρ)
ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω ότι το x - ρ είναι παράγοντας του Ρ(x). Τότε P(x) = (x - ρ)π(x) Από την ισότητα αυτή για x = ρ παίρνουμε P(ρ) = (ρ - ρ)π(ρ) = 0, που σημαίνει ότι το ρ είναι ρίζα του Ρ(x). Αντιστρόφως: Έστω ότι το ρ είναι ρίζα του Ρ(x), δηλαδή ισχύει Ρ(ρ) = 0. Τότε από τη σχέση P(x) = (x - ρ)π(x) + P(ρ) παίρνουμε P(x) = (x - ρ)π(x), που σημαίνει ότι το x - ρ είναι παράγοντας του Ρ(x).
ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω ότι το x - ρ είναι παράγοντας του Ρ(x). Τότε P(x) = (x - ρ)π(x) Από την ισότητα αυτή για x = ρ παίρνουμε P(ρ) = (ρ - ρ)π(ρ) = 0, που σημαίνει ότι το ρ είναι ρίζα του Ρ(x). Αντιστρόφως: Έστω ότι το ρ είναι ρίζα του Ρ(x), δηλαδή ισχύει Ρ(ρ) = 0. Τότε από τη σχέση P(x) = (x - ρ)π(x) + P(ρ) παίρνουμε P(x) = (x - ρ)π(x), που σημαίνει ότι το x - ρ είναι παράγοντας του Ρ(x).
| |||||
ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ: ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ: Math Blog Posts: Math Blog Post...
ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ: ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ: Math Blog Posts: Math Blog Post...: ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ: Math Blog Posts: Math Blog Posts: Αναφορά Άλγεβρα ... : Math Blog Posts: Math Blog Posts: Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - ...
Math Blog Posts: Math Blog Posts: Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβ...
Math Blog Posts: Math Blog Posts: Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβ...: Math Blog Posts: Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή : Η συνάρτηση f(x) = αημx + βσυνx ΘΕΩΡΗΜΑ ...
Δευτέρα 1 Ιουλίου 2024
ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ: Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή
ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ: Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή: Μελέτη της συνάρτησης f(x) = συνx Επειδή η συνάρτηση f(x) = συνx είναι περιοδική με περίοδο 2π, αρκεί να τη μελετήσουμε σε έ...
ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ: Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή
ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ: Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή: Τριγωνομετρικές εξισώσεις αν ημx=α και α = ημθ τότε η εξίσωση ημx=ημθ έχει λύση την x=2kπ+θ ή x=2kπ+π-θ ,κ ακέραιος αν συνx=α και α = συν...
Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή
Τριγωνομετρικές εξισώσεις
αν ημx=α και α = ημθ τότε η εξίσωση ημx=ημθ έχει λύση την
x=2kπ+θ ή x=2kπ+π-θ ,κ ακέραιος
αν συνx=α και α = συνθ τότε η εξίσωση συνx=συνθ έχει λύση την x=2kπ+θ ή x=2kπ-θ ,κ ακέραιος
αν εφx=α και α = εφθ τότε η εξίσωση εφx=εφθ έχει λύση την x=kπ+θ ,κ ακέραιος
ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ: Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή
ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ: Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή: Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις Η εξίσωση ημx = α Έστω ότι θέλουμε να λύσουμε την εξίσωση ημx = 1/ 2 . Είναι φανερό ότι ζη...
Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή
Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις
Η εξίσωση ημx = α
Έστω ότι θέλουμε να λύσουμε την εξίσωση ημx = 1/2. Είναι φανερό ότι ζητάμε να βρούμε τις τετμημένες των σημείων τομής της καμπύλης y = ημx και της ευθείας y = 1/2
Ζητάμε δηλαδή εκείνα τα x ∈ ℝ, για τα οποία η συνάρτηση f(x) = ημx παίρνει την τιμή 1/2. Επειδή η συνάρτηση αυτή είναι περιοδική με περίοδο 2π, για να βρούμε τα ζητούμενα x, που είναι άπειρα σε πλήθος (βλ. σχήμα), αρκεί να βρούμε όσα από αυτά υπάρχουν σε ένα διάστημα πλάτους 2π και σε κάθε ένα να προσθέσουμε το κ·2π, όπου κ ακέραιος.
| Με τη βοήθεια του τριγωνομετρικού κύκλου βρίσκουμε ότι οι λύσεις της εξίσωσης ημx = 1/2 στο διάστημα [0, 2π], είναι οι π/6 και π - π/6 = 5π/6, γιατί ημ π/6 = ημ 5π/6 = 1/2. | |
| Επομένως το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης ημx = 1/2 δίνεται από τους τύπους x=2kπ+π/6 ή x=2kπ+5π/6 Γενικότερα, αν θ είναι μία λύση της εξίσωσης ημx = α, αν δηλαδή ισχύει ημθ = α, τότε οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται από τους τύπους: x=2kπ+θ ή x=2kπ+π-θ , κ ακέραιος | |
ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ: Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή
ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ: Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή: Μελέτη της συνάρτησης f(x) = συνx Επειδή η συνάρτηση f(x) = συνx είναι περιοδική με περίοδο 2π, αρκεί να τη μελετήσουμε σε έ...
Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή
Μελέτη της συνάρτησης f(x) = συνx
Επειδή η συνάρτηση f(x) = συνx είναι περιοδική με περίοδο 2π, αρκεί να τη μελετήσουμε σε ένα διάστημα πλάτους 2π, π.χ. το [0, 2π]
Μελέτη της συνάρτησης f(x) = εφx
Επειδή η συνάρτηση f(x) = εφx είναι περιοδική με περίοδο π, αρκεί να τη μελετήσουμε σε ένα διάστημα πλάτους π, π.χ. το (- π/2, π/2).
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
1º Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f(x) = 3ημx.
Οι τιμές της συνάρτησης f(x) = 3ημx είναι προφανώς τριπλάσιες από τις αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης f(x) = ημx. Εξάλλου και η συνάρτηση αυτή είναι περιοδική με περίοδο 2π, αφού ισχύει:
f(x + 2π) = 3·ημ(x + 2π) = 3·ημx = f(x), για κάθε x ∈ ℝ,
και f(x - 2π) = 3·ημ(x - 2π) = 3·ημx = f(x), για κάθε x ∈ ℝ
Έχοντας υπ' όψιν τα στοιχεία αυτά και με τη βοήθεια ενός πίνακα τιμών σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της f(x) = 3ημx.
2º Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f(x) = ημ2x.
ΛΥΣΗ
Κάθε τιμή της συνάρτησης f(x) = ημ2x επαναλαμβάνεται, όταν το 2x αυξηθεί κατά 2π, που σημαίνει ότι η τιμή αυτή επαναλαμβάνεται, όταν το x αυξηθεί κατά π. Επομένως, η συνάρτηση f(x) = ημ2x είναι περιοδική με περίοδο π. Πράγματι:
f(x + π) = ημ2(x + π) = ημ(2x + 2π) = ημ2x = f(x), για κάθε x ∈ ℝ
και f(x - π) = ημ2(x - π) = ημ(2x - 2π) = ημ2x = f(x), για κάθε x ∈ ℝ
Έχοντας υπόψη το στοιχείο αυτό και με τη βοήθεια ενός πίνακα τιμών, σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της f(x) = ημ2x
3º Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f(x) = 3ημ2x.
ΛΥΣΗ
Σύμφωνα με τα προηγούμενα παραδείγματα η συνάρτηση αυτή έχει μέγιστο 3, ελάχιστο -3 και είναι περιοδική με περίοδο π.
Ένας πίνακας τιμών της συνάρτησης f(x) = 3ημ2x είναι ο εξής:
Από τα προηγούμενα παραδείγματα γίνεται φανερό ότι, σε μια συνάρτηση της μορφής f(x) = ρημωx, όπου ρ, ω > 0:
(i)
Το ρ καθορίζει τη μέγιστη τιμή της, που είναι ίση με ρ και την ελάχιστη τιμή της που είναι ίση με -ρ.
(ii)
Το ω καθορίζει την περίοδο της συνάρτησης που είναι ίση με 2πω.
Τα ίδια συμπεράσματα ισχύουν και για μια συνάρτηση της μορφής
f(x) = ρσυνωx, όπου ρ, ω > 0
ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ: Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή
ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ: Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή: Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέγεται περιοδική , όταν υπάρχει πραγματικός αριθμός Τ ...
Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή
Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις
Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέγεται περιοδική, όταν υπάρχει πραγματικός αριθμός Τ > 0 τέτοιος, ώστε για κάθε x ∈ A να ισχύει:
i) x + T ∈ A, x - T ∈ A
και
ii) f(x + T) = f(x - T) = f(x)
Ο πραγματικός αριθμός Τ λέγεται περίοδος της συνάρτησης f.
Τριγωνομετρικές συναρτήσεις πραγματικών αριθμών
Όπως γνωρίζουμε, για κάθε γωνία ω υπάρχει μία μόνο τιμή του ημω, με -1 ≤ ημω ≤ 1. Έτσι ορίζεται μια συνάρτηση με την οποία κάθε γωνία ω αντιστοιχίζεται στο ημίτονό της. Ομοίως ορίζονται και οι άλλες τριγωνομετρικές συναρτήσεις γωνιών.
Πολλές εφαρμογές όμως των τριγωνομετρικών συναρτήσεων δεν περιέχουν γωνίες, αλλά πραγματικούς αριθμούς, όπως, π.χ., ο τύπος της αρμονικής ταλάντωσης f(t) = α·ημωt, στον οποίο τα α και ω είναι σταθερές και t είναι ένας πραγματικός αριθμός που παριστάνει το χρόνο.
Για το λόγο αυτό ορίζουμε στη συνέχεια τριγωνομετρικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής.
Συγκεκριμένα:
- Η συνάρτηση με την οποία κάθε πραγματικός αριθμός x αντιστοιχίζεται στο ημ (x rad) λέγεται συνάρτηση ημίτονο και συμβολίζεται με ημ.
Ορίζουμε δηλαδή ότι
ημx = ημ (x rad).
Επειδή ημ(ω + 360o) = ημ(ω - 360o) = ημω, για κάθε x ∈ ℝ θα ισχύει:
ημ(x + 2π) = ημ(x - 2π) = ημx.
Άρα η συνάρτηση ημίτονο είναι περιοδική με περίοδο 2π.
- Ομοίως ορίζουμε και τη συνάρτηση συνημίτονο που συμβολίζεται με συν.
Ορίζουμε δηλαδή ότι
συνx = συν (x rad).
Και η συνάρτηση συνημίτονο είναι περιοδική με περίοδο 2π.
Η συνάρτηση εφαπτομένη που συμβολίζεται με εφ, ορίζεται ως εξής:
εφx = ημxσυνx
Είναι φανερό ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης εφ είναι το σύνολο:
ℝ1 = {x|συνx ≠ 0}
Επειδή για κάθε x ∈ R1 ισχύει
εφ(x + π) = εφ(x - π) = εφx,
η συνάρτηση εφαπτομένη είναι περιοδική με περίοδο π.
- Η συνάρτηση συνεφαπτομένη, που συμβολίζεται με σφ, ορίζεται ως εξής:
σφx = συνxημx,
Είναι φανερό ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης σφ είναι το σύνολο:
ℝ2 = {x|ημx ≠ 0}
Και η συνάρτηση συνεφαπτομένη είναι περιοδική με περίοδο π.
Μελέτη της συνάρτησης f(x) = ημx
Επειδή η συνάρτηση f(x) = ημx είναι περιοδική με περίοδο 2π, αρκεί να τη μελετήσουμε σε ένα διάστημα πλάτους 2π, π.χ. το [0, 2π], Έχουμε αναφέρει όμως ότι το ημx είναι η τεταγμένη του σημείου Μ στο οποίο η τελική πλευρά της γωνίας xrad τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο. Επομένως αρκεί να εξετάσουμε πώς μεταβάλλεται η τεταγμένη του Μ, όταν αυτό περιφέρεται στον τριγωνομετρικό κύκλο κατά τη θετική φορά, ξεκινώντας από το Α.
Όταν το x μεταβάλλεται από το 0 μέχρι το π2, το Μ κινείται από το Α μέχρι το Β. Άρα η τεταγμένη του αυξάνει, που σημαίνει ότι η συνάρτηση f(x) = ημx είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [0, π2].
Ομοίως βρίσκουμε ότι η συνάρτηση f(x) = ημx είναι:
γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [π/2, π],
- γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [π, 3π/2] και
- γνησίως αύξουσα στο διάστημα [3π/2, 2π].
● Η συνάρτηση παρουσιάζει
- μέγιστο για x = π/2, το ημ π/2 = 1 και
- ελάχιστο για x = 3π/2, το ημ 3π/2 = -1.
ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ: ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ: Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Β...
ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ: ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ: Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Β...: ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ: Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή : ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 o ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ Γωνίες αντίθετες Αν οι γωνίες ω ...
ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ: Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή
ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ: Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή: ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 o ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ Γωνίες αντίθετες Αν οι γωνίες ω και ω' είναι αντίθετες, δηλαδή αν ω' = −ω, τότε, όπως φ...
Εγγραφή σε:
Αναρτήσεις (Atom)