ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ: Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή

ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ: Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή:   Μελέτη της συνάρτησης f(x) = συνx Επειδή η συνάρτηση f(x) = συνx είναι περιοδική με περίοδο 2π, αρκεί να τη μελετήσουμε σε έ...

ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ: Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή

ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ: Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή:  Τριγωνομετρικές εξισώσεις  αν ημx=α και α = ημθ τότε η εξίσωση ημx=ημθ έχει λύση την  x=2kπ+θ ή x=2kπ+π-θ ,κ ακέραιος αν συνx=α και α = συν...

Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή

 Τριγωνομετρικές εξισώσεις 

αν ημx=α και α = ημθ τότε η εξίσωση ημx=ημθ έχει λύση την 

x=2kπ+θ ή x=2kπ+π-θ ,κ ακέραιος

αν συνx=α και α = συνθ τότε η εξίσωση συνx=συνθ έχει λύση την x=2kπ+θ ή x=2kπ-θ ,κ ακέραιος

αν εφx=α και α = εφθ τότε η εξίσωση εφx=εφθ έχει λύση την x=kπ+θ ,κ ακέραιος

ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ: Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή

ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ: Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή:   Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις   Η εξίσωση ημx = α Έστω ότι θέλουμε να λύσουμε την εξίσωση ημx = 1/ 2 . Είναι φανερό ότι ζη...

Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή

  Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις

 

Η εξίσωση ημx = α

Έστω ότι θέλουμε να λύσουμε την εξίσωση ημx = 1/2. Είναι φανερό ότι ζητάμε να βρούμε τις τετμημένες των σημείων τομής της καμπύλης y = ημx και της ευθείας y = 1/2

 

Ζητάμε δηλαδή εκείνα τα x ∈ ℝ, για τα οποία η συνάρτηση f(x) = ημx παίρνει την τιμή 1/2. Επειδή η συνάρτηση αυτή είναι περιοδική με περίοδο 2π, για να βρούμε τα ζητούμενα x, που είναι άπειρα σε πλήθος (βλ. σχήμα), αρκεί να βρούμε όσα από αυτά υπάρχουν σε ένα διάστημα πλάτους 2π και σε κάθε ένα να προσθέσουμε το κ·2π, όπου κ ακέραιος.

Με τη βοήθεια του τριγωνομετρικού κύκλου βρίσκουμε ότι οι λύσεις της εξίσωσης ημx = 1/2 στο διάστημα [0, 2π], είναι οι π/6 και π - π/6 = 5π/6, γιατί ημ π/6 = ημ 5π/6 = 1/2.

Επομένως το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης ημx = 1/2 δίνεται από τους τύπους  x=2kπ+π/6 ή x=2kπ+5π/6 Γενικότερα, αν θ είναι μία λύση της εξίσωσης ημx = α, αν δηλαδή ισχύει ημθ = α, τότε οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται από τους τύπους: x=2kπ+θ ή x=2kπ+π-θ , κ ακέραιος

ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ: Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή

ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ: Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή:   Μελέτη της συνάρτησης f(x) = συνx Επειδή η συνάρτηση f(x) = συνx είναι περιοδική με περίοδο 2π, αρκεί να τη μελετήσουμε σε έ...

Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή

 

Μελέτη της συνάρτησης f(x) = συνx

Επειδή η συνάρτηση f(x) = συνx είναι περιοδική με περίοδο 2π, αρκεί να τη μελετήσουμε σε ένα διάστημα πλάτους 2π, π.χ. το [0, 2π]

 

Μελέτη της συνάρτησης f(x) = εφx

Επειδή η συνάρτηση f(x) = εφx είναι περιοδική με περίοδο π, αρκεί να τη μελετήσουμε σε ένα διάστημα πλάτους π, π.χ. το (- π/2, π/2).

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

1º Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f(x) = 3ημx.

Οι τιμές της συνάρτησης f(x) = 3ημx είναι προφανώς τριπλάσιες από τις αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης f(x) = ημx. Εξάλλου και η συνάρτηση αυτή είναι περιοδική με περίοδο 2π, αφού ισχύει:

f(x + 2π) = 3·ημ(x + 2π) = 3·ημx = f(x), για κάθε x ∈ ℝ,

και f(x - 2π) = 3·ημ(x - 2π) = 3·ημx = f(x), για κάθε x ∈ ℝ

 Έχοντας υπ' όψιν τα στοιχεία αυτά και με τη βοήθεια ενός πίνακα τιμών σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της f(x) = 3ημx.

 

2º Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f(x) = ημ2x.

ΛΥΣΗ

Κάθε τιμή της συνάρτησης f(x) = ημ2x επαναλαμβάνεται, όταν το 2x αυξηθεί κατά 2π, που σημαίνει ότι η τιμή αυτή επαναλαμβάνεται, όταν το x αυξηθεί κατά π. Επομένως, η συνάρτηση f(x) = ημ2x είναι περιοδική με περίοδο π. Πράγματι:

f(x + π) = ημ2(x + π) = ημ(2x + 2π) = ημ2x = f(x), για κάθε x ∈ ℝ

και f(x - π) = ημ2(x - π) = ημ(2x - 2π) = ημ2x = f(x), για κάθε x ∈ ℝ

Έχοντας υπόψη το στοιχείο αυτό και με τη βοήθεια ενός πίνακα τιμών, σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της f(x) = ημ2x

 

3º Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f(x) = 3ημ2x.

ΛΥΣΗ

Σύμφωνα με τα προηγούμενα παραδείγματα η συνάρτηση αυτή έχει μέγιστο 3, ελάχιστο -3 και είναι περιοδική με περίοδο π.

Ένας πίνακας τιμών της συνάρτησης f(x) = 3ημ2x είναι ο εξής: 

 Από τα προηγούμενα παραδείγματα γίνεται φανερό ότι, σε μια συνάρτηση της μορφής f(x) = ρημωx, όπου ρ, ω > 0:

(i)  

Το ρ καθορίζει τη μέγιστη τιμή της, που είναι ίση με ρ και την ελάχιστη τιμή της που είναι ίση με -ρ.

(ii)  

Το ω καθορίζει την περίοδο της συνάρτησης που είναι ίση με 2πω.

Τα ίδια συμπεράσματα ισχύουν και για μια συνάρτηση της μορφής

f(x) = ρσυνωx, όπου ρ, ω > 0

 

 

 

ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ: Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή

ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ: Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή:   Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέγεται περιοδική , όταν υπάρχει πραγματικός αριθμός Τ ...

Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή

  Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέγεται περιοδική, όταν υπάρχει πραγματικός αριθμός Τ > 0 τέτοιος, ώστε για κάθε x ∈ A να ισχύει:

i)   x + T ∈ A, x - T ∈ A

και

ii) f(x + T) = f(x - T) = f(x)

Ο πραγματικός αριθμός Τ λέγεται περίοδος της συνάρτησης f.

 

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις πραγματικών αριθμών

Όπως γνωρίζουμε, για κάθε γωνία ω υπάρχει μία μόνο τιμή του ημω, με -1 ≤ ημω ≤ 1. Έτσι ορίζεται μια συνάρτηση με την οποία κάθε γωνία ω αντιστοιχίζεται στο ημίτονό της. Ομοίως ορίζονται και οι άλλες τριγωνομετρικές συναρτήσεις γωνιών.

Πολλές εφαρμογές όμως των τριγωνομετρικών συναρτήσεων δεν περιέχουν γωνίες, αλλά πραγματικούς αριθμούς, όπως, π.χ., ο τύπος της αρμονικής ταλάντωσης f(t) = α·ημωt, στον οποίο τα α και ω είναι σταθερές και t είναι ένας πραγματικός αριθμός που παριστάνει το χρόνο.

Για το λόγο αυτό ορίζουμε στη συνέχεια τριγωνομετρικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής.

Συγκεκριμένα:

- Η συνάρτηση με την οποία κάθε πραγματικός αριθμός x αντιστοιχίζεται στο ημ (x rad) λέγεται συνάρτηση ημίτονο και συμβολίζεται με ημ.

Ορίζουμε δηλαδή ότι

ημx = ημ (x rad).

Επειδή ημ(ω + 360^o) = ημ(ω - 360^o) = ημω, για κάθε x ∈ ℝ θα ισχύει:

ημ(x + 2π) = ημ(x - 2π) = ημx.

Άρα η συνάρτηση ημίτονο είναι περιοδική με περίοδο 2π.

- Ομοίως ορίζουμε και τη συνάρτηση συνημίτονο που συμβολίζεται με συν.

Ορίζουμε δηλαδή ότι

συνx = συν (x rad).

Και η συνάρτηση συνημίτονο είναι περιοδική με περίοδο 2π.

 Η συνάρτηση εφαπτομένη που συμβολίζεται με εφ, ορίζεται ως εξής:

εφx = ημxσυνx

Είναι φανερό ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης εφ είναι το σύνολο:

ℝ₁ = {x|συνx ≠ 0}

Επειδή για κάθε x ∈ R₁ ισχύει

εφ(x + π) = εφ(x - π) = εφx,

η συνάρτηση εφαπτομένη είναι περιοδική με περίοδο π.

- Η συνάρτηση συνεφαπτομένη, που συμβολίζεται με σφ, ορίζεται ως εξής:

σφx = συνxημx,

Είναι φανερό ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης σφ είναι το σύνολο:

ℝ₂ = {x|ημx ≠ 0}

Και η συνάρτηση συνεφαπτομένη είναι περιοδική με περίοδο π.

Μελέτη της συνάρτησης f(x) = ημx

 Επειδή η συνάρτηση f(x) = ημx είναι περιοδική με περίοδο 2π, αρκεί να τη μελετήσουμε σε ένα διάστημα πλάτους 2π, π.χ. το [0, 2π], Έχουμε αναφέρει όμως ότι το ημx είναι η τεταγμένη του σημείου Μ στο οποίο η τελική πλευρά της γωνίας xrad τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο. Επομένως αρκεί να εξετάσουμε πώς μεταβάλλεται η τεταγμένη του Μ, όταν αυτό περιφέρεται στον τριγωνομετρικό κύκλο κατά τη θετική φορά, ξεκινώντας από το Α.

 Όταν το x μεταβάλλεται από το 0 μέχρι το π2, το Μ κινείται από το Α μέχρι το Β. Άρα η τεταγμένη του αυξάνει, που σημαίνει ότι η συνάρτηση f(x) = ημx είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [0, π2].

Ομοίως βρίσκουμε ότι η συνάρτηση f(x) = ημx είναι:

 γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [π/2, π],

- γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [π, 3π/2] και

- γνησίως αύξουσα στο διάστημα [3π/2, 2π].

● Η συνάρτηση παρουσιάζει

- μέγιστο για x = π/2, το ημ π/2 = 1 και

- ελάχιστο για x = 3π/2, το ημ 3π/2 = -1.

 

ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ: ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ: Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Β...

ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ: ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ: Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Β...: ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ: Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή :  ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 o ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ Γωνίες αντίθετες Αν οι γωνίες ω ...

ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ: Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή

ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ: Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή:  ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 o ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ Γωνίες αντίθετες Αν οι γωνίες ω και ω' είναι αντίθετες, δηλαδή αν ω' = −ω, τότε, όπως φ...